Question

如图，一抛物线的顶点A为（2，-1），交x轴于B、C（B左C右）两点，交y轴于点D，且B（1，0），坐标原点为O，
（1）求抛物线解析式．
（2）连接CD、BD，在x轴上确定点E，使以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，并求出点E的坐标．
（3）若点M（m，1）是抛物线上对称轴右侧的一点，点Q也在抛物线上，点P在x轴上，是否存在以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点A为（2，-1），可设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，
∴y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D点坐标为（0，3）；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C点坐标为（3，0）；
过A作AH⊥x轴，如图，
易得△ODC和△ACH都为等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，
∴∠DCB=∠ACH=45°，
当以A、C、E为顶点的三角形与△CBD相似，则∠DCB=∠ACE=45°，
若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3，解得CE=，
∴OE=3-=，则E点坐标为（，0）；
若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，解得CE=3，
∴OE=3-3=0，则E点坐标为（0，0）；

（3）存在．P点坐标为（-2，0）；（2，0）；（4+，0）．
分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，然后把B（1，0）代入计算求出a即可；
（2）先确定D点坐标为（0，3）；C点坐标为（3，0）；过A作AH⊥x轴，易得△ODC和△ACH都为等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，∠DCB=∠ACH=45°，然后分类讨论：若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3；若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，分别求出CE，即可确定E点坐标；
（3）先确定M（2+，1），然后分类讨论：如图，
当OP为对角线，则M与Q到x轴的距离相等，都为1，所以Q点在A点，求出AM的解析式，得到与x轴的交点G的坐标，P₁与O关于G对称，可得P₁坐标；当OM为对角线，则MQ∥x轴，这样可确定Q₂的坐标，然后利用平行四边形的性质可确定P₂的坐标；同理可得到P₃的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题的解法：先通过合理的设抛物线的解析式，利用待定系数法确定解析式，在分别求出个特殊点的坐标，利用坐标特点得到几何性质，然后利用几何性质解决问题．也考查了分类讨论思想的运用、三角形相似的判定与性质以及平行四边形的性质．