Question

8．如图，在菱形ABCD中，点M、N在直线BD上，点M在N点左侧，AM∥CN．
（1）如图1，求证：BM=DN；
（2）如图2，当∠ABC=90°，点M，N在线段BD上时，求证：BM+BN=$\sqrt{2}$AB；
（3）如图3，当∠ABC=60°，点M在线段DB的延长线上时，直接写出BM，BN，AB三者的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质可知AB=CD，AB∥CD，然后由平行线的性质和补角的性质∠ABM=∠CDN，∠AMB=∠CND，接下来依据AAS证明△AMB≌△CND，由全等三角形的性质可得到MB=DN；
（2）由（1）得BM=DN，故此可得到BN+BM=DB，当∠ABC=90°时，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD与AB的关系，从而得到BM+BN=$\sqrt{2}$AB；
（3）过点A作AE⊥MN，垂足为E．由BM=DN可证明BD=BN-BM，当∠ABC=60°时，∠ABE=30°在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得BE与AB的关系，然后再依据等腰三角形三线合一的性质可得到AB与BD的关系，于是得到BM，BN，AB三者的数量关系．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABM=∠CDN．
∵AM∥CN，
∴∠AMN=∠MNC．
∴∠AMB=∠CND．
在△AMB和△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠CDN}\\{∠AMB=∠CND}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AMB≌△CND．
∴MB=DN．
（2）由（1）得BM=DN．
∴BN+BM=DB．
当∠ABC=90°时，由勾股定理得；BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$AB．
∴MB+BN=$\sqrt{2}$AB．
（3）NB-BM=$\sqrt{3}$AB．
如图1所示：过点A作AE⊥MN，垂足为E．

由（1）得BM=DN．
又∵BD=BN-DN，
∴BD=BN-BM．
当∠ABC=60°时，∠ABE=30°，
又∵∠AEB=90°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB．
∴在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB．
∵AB=AD，AE⊥BD，
∴BE=ED．
∴BD=$\sqrt{3}$AB．
∴BN-BM=$\sqrt{3}$AB．
由勾股定理得；BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$AB．
∴MB+BN=$\sqrt{2}$AB．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，求得AB与BD的关系是解题的关键．