Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法进行下去，则=________（其中n≥2）．

Answer 1

分析：先在△ABC中由勾股定理求出AB=，根据正弦函数的定义得出sinB===，然后依次在△BC₁C、△C₂C₁C、△C₃C₂C₁、△C₄C₃C₂中，求出=sinB=；=sinB=；=sinB=；=sinB=；同理可得=sinB=．
解答：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB===，
∴sinB===．
在△BC₁C中，∵∠BC₁C=90°，
∴sinB==；
在△C₂C₁C中，∵∠C₁C₂C=90°，
∠C₁CC₂=90°-∠BCC₁=∠B，
∴sin∠C₁CC₂=sinB==；
在△C₃C₂C₁中，∵∠C₂C₃C₁=90°，C₁C₂∥BC，
∴∠C₃C₁C₂=∠B，
∴sin∠C₃C₁C₂=sinB==；
在△C₄C₃C₂中，∵∠C₃C₄C₂=90°，
∠C₄C₂C₃=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C₄C₂C₃=sinB==；
同理可得
=sinB=．
故答案为．
点评：本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，平行线、垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用三角函数的定义得出sinB=，然后总结出规律．