Question

已知抛物线y=-ax²+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴正半轴交于点C。
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
（2）当∠ACB=90°时，求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得△ABM和△ABC的面积相等（△ABM与△ABC重合除外）？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限内，抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出这个最大值和点N坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）对称轴是：直线x=1；点B的坐标是（3，0）；
（2）由∠ACB=∠AOC=∠COB=90°，得△AOC∽△COB，
∴，
∴CO=，
∴b=，
当x=-1，y=0时，，
∴，
∴；
（3）点M的坐标是：（2，），（1+，-）或（1-，-）；
（4）设点N的坐标为（m，n），则，
过点N作ND⊥AB于点D，则有： 





∵＜0，
∴当时，△BCN的面积最大，最大值是，点N的坐标为。