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    Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连CP、AP，CP交AB于点O（如图①）．
    （1）当AC=BC时，求证：△OPB∽△PAB；
    （2）若BC=2，AC=b，当b为多长时，△ACB与△ABP相似？
    （3）图①中，将点A沿直线AC向下运动（其余条件不变），则Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化，如图②所示，如果点A一直运动到BC下方，如图③所示，请在图（3）中按题意把图画完整，若BC=2，设AC=x，△BCP的面积为y1，△PAB的面积为y2，试问y1、y2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．

    【答案】分析：（1）欲证所求的三角形相似，就必须先证得PB=2OB；连接CM、PM；由于△ACB是等腰直角三角形，那么CM垂直平分AB，由此可证得四边形CMPB是平行四边形，得BM=2OB，即BP=2OB，那么BP：OB=AB：BP，即可证得所求的三角形相似．
    （2）此题分两种情况讨论即可：①BC=2AC，②AC=2BC．
    （3）首先根据题意画出图形，显然△PAB的面积是变化的，其面积为PB•AB=AB2，只需在Rt△ABC中用勾股定理表示出AB2即可得y2、x的函数关系式；下面看y1的变化情况：过P作PN⊥BC于N，易证得△PNB∽△BCA，得BC=2PN，即PN=1，因此△PCB的面积是不变的，即y1是定值，且y1=1．
    解答：解：（1）如图，连接CM、MP；
    由题意知：△ACB是等腰直角三角形，则有：
    CM⊥AB，即CM∥BP，且CM=MB=PB；
    ∴四边形CBPM是平行四边形，得MB=PB=2OB，
    即：PB：OB=AB：PB=2，又∠OBP=∠PBA=90°，
    ∴△OBP∽△PBA．

    （2）由于AB=2BP，若△ACB与△ABP相似，
    则有：①AC=2BC，即b=4；
    ②BC=2AC，即2=2b，b=1；
    所以当b=1或4时，△ACB与△ABP相似．

    （3）如图，过P作PN⊥BC于N；
    ∵∠PBN=∠BAC=90°-∠ABC，∠PNB=∠ACB=90°，
    ∴△PNB∽△BCA，得：
    AB：BP=BC：PN=2，即BC=2PN，得PN=1；
    ∴△PBC的面积：y1=BC•PN=1，是定值；
    在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=4+x2，
    ∴△PAB的面积：y2=AB•PB=AB2=（4+x2）=x2+1．
    综上可知：y1的值是定值且为1，y2随x的变化而变化，且关系式为：y2=x2+1．
    点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、图形的旋转变换、勾股定理以及三角形的面积等知识，难度较大．
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    如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的精英家教网延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．

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    精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=3cm，则DE=
     
    cm．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=
     
    ．

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    如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，精英家教网点G在边BC上．
    （1）求证：AE=BF；
    （2）若BC=
    		2
    cm，求正方形DEFG的边长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AB，AB=20，AC=12，则四边形ADEC的面积为
     
    ．

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