Question

已知：在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与y轴相交于点A，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A、B（1，0），D为顶点．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将上述二次函数的图象沿y轴向上或向下平移，使点D的对应点C在一次函数y=x+3的图象上，求平移后所得图象的表达式；
（3）设点P在一次函数y=x+3的图象上，且S_△ABP=2S_△ABC，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵由x=0，得y=3．
∴点A的坐标为A（0，3）．
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），
∴，
解得．
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-2x+3．顶点D的坐标为D（-1，4）．

（2）设平移后的图象解析式为y=-（x+1）²+k．
根据题意，可知点C（-1，k）在一次函数y=x+3的图象上，
则-1+3=k
解得k=2．
故所求图象的表达式为y=-（x+1）²+2．

（3）设直线x=-1与x轴交于点E．
由（2）得 C（-1，2）．
又由 A（0，3），得AC==．
根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．
∵△ABP与△ABC同高，
于是，当S_△ABP=2S_△ABC时，得AP=2AC=2．
此时，有两种不同的情况：
（ⅰ）当点P在线段CA的延长线上时，得CP=CA+AP=3，且m＞0．
过点P作PQ₁垂直于x轴，垂足为点Q₁．
易得=．
=，
解得m=2．
m+3=5．
∴P₁（2，5）．
（ⅱ）当点P在线段AC的延长线上时，得 CP=AP-CA=，且m＜0．
过点P作PQ₂垂直于x轴，垂足为点Q₂．
易得=．
=，
解得m=-2．
m+3=1．
∴P₂（-2，1）．
综上所述，点P的坐标为（2，5）或（-2，1）．
另解：（3）由（2）得 C（-1，2）．
又由 A（0，3），得AC==．
根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．
∵△ABP与△ABC同高，
于是，当S_△ABP=2S_△ABC时，得AP=2AC=2
∴AP²=8．
即得m²+（m+3-3）²=8．
解得m₁=2，m₂=-2．
∴m+3=5或1．
∴点P的坐标为（2，5）或（-2，1）．
分析：（1）先求出点A的坐标，再将点A（0，3）、B（1，0）代入二次函数y=-x²+bx+c，可得方程组，解方程组求解即可得到二次函数的解析式；
（2）平移后的图象解析式为y=-（x+1）²+k．根据点C（-1，k）在一次函数y=x+3的图象上，可得关于k 的方程，求得k的值，从而即可求出平移后所得图象的表达式；
（3）先根据两点间的距离公式得到AC的长，由S_△ABP=2S_△ABC，可得AP=2AC，再分（ⅰ）当点P在线段CA的延长线上时；（ⅱ）当点P在线段AC的延长线上时；两种情况讨论即可求解．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数的解析式，平移的性质，两点间的距离公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．