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    如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．
    （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
    （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
    （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

    【答案】分析：（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度；
    （2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；
    （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=-a2+a（0＜a＜3），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，a的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．
    另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．
    解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；
    ∵6=3k，
    ∴k=2，
    ∴y=2x．（2分）
    OA=．…（3分）

    （2）是一个定值，理由如下：
    如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
    ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
    此时；
    ②当QH与QM不重合时，
    ∵QN⊥QM，QG⊥QH
    不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
    ∴∠MQH=∠GQN，
    又∵∠QHM=∠QGN=90°
    ∴△QHM∽△QGN…（5分），
    ∴，
    当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①①

    （3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
    ∵∠AOD=∠BAE，
    ∴AF=OF，
    ∴OC=AC=OA=
    ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
    ∴△AOR∽△FOC，
    ∴，
    ∴OF=，
    ∴点F（，0），
    设点B（x，），
    过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
    ∴，
    即，
    解得x1=6，x2=3（舍去），
    ∴点B（6，2），
    ∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
    ∴AB=5         …（8分）；
    （求AB也可采用下面的方法）
    设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得
    k=，b=10，
    ∴，
    ∴，
    ∴（舍去），，
    ∴B（6，2），
    ∴AB=5…（8分）
    （其它方法求出AB的长酌情给分）
    在△ABE与△OED中
    ∵∠BAE=∠BED，
    ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
    ∴∠ABE=∠DEO，
    ∵∠BAE=∠EOD，
    ∴△ABE∽△OED．…（9分）
    设OE=a，则AE=-a（0＜a＜3），
    由△ABE∽△OED得，
    ∴=，
    ∴m=a（3-a）=-a2+a（0＜a＜3），
    ∴顶点为（，）
    如答图3，当时，OE=a=，此时E点有1个；
    当时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．
    ∴当时，E点只有1个…（11分）
    当时，E点有2个…（12分）．
    点评：本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图1，已知直线：y=
    		3
    3
    x+
    		3
    与直角坐标系xOy的x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为x轴正半轴上一点，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于B点，交x轴于C、D两点，与y轴交于另一点E．
    （1）求圆心M的坐标；
    （2）如图2，连接BM延长交⊙M于F，点N为
    CF
    上任一点，连DN交BF于Q，连FN并延长交x轴于点P．则CP与MQ有何数量关系？证明你的结论；
    （3）如图3，连接BM延长交⊙M于F，点N为
    CF
    上一动点，NH⊥x轴于H，NG⊥BF于G，连接GH，当N点运动时，下列两个结论：①NG+NH为定值；②GH的长度不变；其中只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明，并求出其值？精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知直线l的解析式为y=
    43
    x+4    ，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．点C从点O出发沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点D从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点C、D同时出发，当点C到达点A时同时停止运动．伴随着C、D的运动，EF始终保持垂直平分CD，垂足为E，且EF交折线AB-BO-AO于点F．
    （1）直接写出A、B两点的坐标；
    （2）设点C、D的运动时间是t秒（t＞0）．
    ①用含t的代数式分别表示线段AD和AC的长度；
    ②在点F运动的过程中，四边形BDEF能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．（可利用备用图解题）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-
    4
    27
    x2+
    22
    3
    交于点A（3，6）．
    （1）求k的值；
    （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
    （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    根据题意，解答问题：

    （1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长．
    （2）如图2，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（-2，-1）之间的距离．
    （3）在（2）的基础上，若有一点D在x轴上运动，当满足DM=DN时，请求出此时点D的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    完成下面证明：

    （1）如图1，已知直线b∥c，a⊥c，求证：a⊥b
    证明：∵a⊥c  （已知）
    ∴∠1=
    ∠2
    ∠2
    （垂直定义）
    ∵b∥c （已知）
    ∴∠1=∠2  （
    两直线平行，同位角相等
    两直线平行，同位角相等
    ）
    ∴∠2=∠1=90° （
    等量代换
    等量代换
    ）
    ∴a⊥b      （
    垂直的定义
    垂直的定义
    ）
    （2）如图2：AB∥CD，∠B+∠D=180°，求证：CB∥DE
    证明：∵AB∥CD （已知）
    ∴∠B=
    ∠C
    ∠C
    （
    两直线平行，内错角相等
    两直线平行，内错角相等
    ）
    ∵∠B+∠D=180° （已知）
    ∴∠C+∠D=180° （
    等量代换
    等量代换
    ）
    ∴CB∥DE   （
    同旁内角互补，两直线平行
    同旁内角互补，两直线平行
    ）

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