Question

已知抛物线y＝ x²－2x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为(－1，0)．

(1)求D点的坐标；

(2)图1，连结AC，BD，并延长交于点E，求∠E的度数；

(3)图2，已知点P(－4，0)，点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA＝∠E时，求点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把x＝－1，y＝0代入得 　　1＋2＋c＝0，∴c＝－3　1分 　　∴ 　　∴顶点D的坐标为(1，－4)　3分 　　(2)图1，连结CD、CB，过D作DF⊥y轴于F点， 　　由得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)． 　　当x＝0时， ． 　　∴C(0，－3)，∴OB＝OC＝3， 　　∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝45°，BC＝　4分 　　又∵DF＝CF＝1，∠CFD＝90°，∴∠FCD＝45°，CD＝， 　　∴∠BCD＝180°－∠OCB－∠FCD ＝90°． 　　∴∠BCD ＝∠COA　5分 　　 　　∴，∴△DCB∽△AOC ，∴∠CBD＝∠OCA　6分 　　又∠ACB＝∠CBD＋∠E＝∠OCA＋∠OCB，∴∠E＝∠OCB＝45°．　7分 　　(3)图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点． 　　∵∠PMA＝45°，∴∠EMH＝45°，∴∠MHE＝90°，　8分 　　∴∠PHB＝90°，∴∠DBG＋∠OPN＝90°． 　　又∠ONP＋∠OPN＝90°，∴∠DBG＝∠ONP， 　　又∠DGB＝∠PON＝90°，∴△DGB∽△PON， 　　∴， 　　∴ON＝2，∴N(0，－2)．　10分 　　设直线PQ的解析式为y＝kx＋b， 　　则由解得k＝－，b＝－2， 　　∴． 　　设Q(m，n)且n＜0，∴． 　　又Q(m，n)在上，∴， 　　∴，解得， 　　∴， 　　∴点Q的坐标为(2，－3)或(－，－)．　12分 　　说明：若有其他解法，请参照评分说明酌情给分．