Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
（1）求证：△AED≌△BFA；
（2）猜想AF、BF、EF三者之间的数量关系，并给出证明；
（3）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′．若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

Answer 1

（1）证明：如图，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠AED=90°，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS）；

（2）猜想AF、BF、EF三者之间的数量关系为AF-AE=EF，
理由如下：
证明：∵△AED≌△BFA，
∴BF=AE，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；

（3）解：如图，将△ABF绕A点旋转到△ADF′，使B与D重合，连接F′E，
根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，
∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°，
∴AF′∥ED，
∴四边形AEDF′为平行四边形，又∠AED=90°，
∴四边形AEDF′是矩形，
∵AD=3，
∴EF′=AD=3．
分析：（1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，
（2）猜想AF、BF、EF三者之间的数量关系为AF-AE=EF，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证；
（3）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由第一问的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD，由AD的长即可求出EF′的长．
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．