Question

如图，已知抛物线y=x²-ax+a²-4a-4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．
（1）求a的值；
（2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；
（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）

Answer 1

解：（1）把点（0，8）代入抛物线y=x²-ax+a²-4a-4得，
a²-4a-4=8，
解得：a₁=6，a₂=-2（不合题意，舍去），
因此a的值为6；

（2）由（1）可得抛物线的解析式为y=x²-6x+8，
当y=0时，x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0），
当y=8时，x²-6x+8=8，
解得：x=0或x=6，
∴D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8），
DP=6-2t，OQ=2+t，
当四边形OQPD为矩形时，DP=OQ，
2+t=6-2t，t=，OQ=2+=，
S=8×=，
即矩形OQPD的面积为；

（3）四边形PQBC的面积为（BQ+PC）×8，当此四边形的面积为14时，
（2-t+2t）×8=14，
解得t=（秒），
当t=时，四边形PQBC的面积为14；

（4）过点P作PE⊥AB于E，连接PB，
当QE=BE时，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=，
∴当t=时，△PBQ是等腰三角形．
分析：（1）把点D（0，8）代入抛物线y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；
（2）利用（1）中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可；
（3）利用梯形的面积计算方法解决问题；
（4）只考虑PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案．
点评：此题考查待定系数法求函数解析式、矩形的判定与性质、矩形的面积、梯形的面积以及等腰三角形的判定等知识．