Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0）其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF在这条抛物线上是否存在一点Q，使得直线EF为线段PQ的垂直平分线？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），
∴解得，
抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）设BD的解析式为y=kx+b，则有
解得，
∴BD的解析式为：y=-2x+6，
∵P的坐标为（x，y），
∴P的坐标为（x，-2x+6），
∴PE=x，
∴S=，
∴S=-x²+3x （1＜x＜3），
S=-（x-）²+，
∴S的最大值为．

（3）不存在．
当x=时，y=-2×+6=3，
∴P（，3），
∴PF=3
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．
过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（ ）²+（3-m）²=m²，
解得m=，
∴MF=MC=，P′M=
∵△P′CM∽△HEP′
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=，
由△EHP′∽△EP′M，
可得 EH：EP′=EP′：EM，EH=．
∴OH=3-=．
∴P′坐标（-，）．
将x=-代入抛物线的解析式，得y=≠
∴不在抛物线上．
分析：（1）本题需先根据抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过（-1，0）B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．
（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上．
点评：本题考查了运用待定系数法求得函数的解析式；根据二次函数的解析式求得函数的最值；勾股定理、相似三角形的性质进行计算，注意数形结合的思想．