Question

如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值。

Answer 1

解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于点P，
∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积，
∵P为OB的中点，而B（4，2），
∴P点坐标为（2，1），
在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD，
∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），
∴S_△ODC=S_△EBA，
∴过点（0，-1）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1，
∴2k-1=1，
∴k=1，
∵y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，
①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0），
②当m≠0时，函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象为抛物线，且与y轴总有一 个交点（0，2m+1）若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△=＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意，
若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，
此时△′==0，
∴m₁=m₂=-1，
综上所述，m的值为m=0或或-1。