Question

已知二次方程kx²+（2k-3）x+k-10=0的两根都是负数，则k的取值范围是________．

Answer 1

-≤k＜0或k＞10．
分析：由原方程有两个实数根，则有k≠0，△≥0，即△=（2k-3）²-4k（k-10）=28k+9≥0，得到k≥-且k≠0；又由原方程的两根都是负数，若设方程两实根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-＜0，x₁x₂=＞0，得到k＞10或k＜0；然后综合得到k的取值范围．
解答：∵原方程有两个实数根，
∴k≠0，△≥0，即△=（2k-3）²-4k（k-10）=28k+9≥0，
解得k≥-且k≠0；
又∵原方程的两根都是负数，若设方程两实根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-＜0，
解得k＞，或k＜0；
x₁x₂=＞0，
解得k＞10，或k＜0；
所以k的取值范围是-≤k＜0或k＞10．
故答案为：-≤k＜0或k＞10．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了不等式组的解法．