Question

如图，已知直线l的表达式为y=-x+

2

+1，且点Q在直线l上，点P在x轴上，若要使∠OQP=90°，则线段OP的最小值为

 

．

Answer 1

分析：首先根据题意得出P点所在位置，进而利用切线的性质以及相似三角形的判定与性质得出MO的长，即可得出答案．

解答：解：∵直线l的表达式为y=-x+

2

+1，
∴x=0时，y=

2

+1，y=0时，x=

2

+1，
∴A（0，

2

+1），B（

2

+1，0），
∴AO=BO=

2

+1，则AB=2+

2

，
根据题意可得出只有Q点在线段AB上时，线段OP的最小，
当∠OQP=90°时，
以OP为直径，做△OQP的外接圆⊙M，此时⊙M与直线AB相切于点Q，
连接MQ，
则MQ⊥AB，MO=MQ，
∵∠MBQ=∠ABO，∠MOB=∠AOB，
∴△BMQ∽△BAO，
∴

BM

AB

=

MQ

AO

，
∴

2 +1-MO

2+ 2

=

MO

2 +1

，
∴解得：MO=1，
∴OP=2，
故线段OP的最小值为2．
故答案为：2．

点评：此题主要考查了一次函数综合应用以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，根据题意得出△OQP的外接圆⊙M是解题关键．