Question

如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．
（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：AB=AD+BE；
（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．

Answer 1

（1）证明：如图1，延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠1=∠2，
∵AM∥BN，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ．
∵AM∥BN，
∴==1，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB；

（2）AD=BE+AB．理由如下：
如图2，延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠1=∠2，
∵AM∥BN，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ．
∵AM∥BN，
∴==1，
∴AD=EQ，
∴EQ=BE+BQ=BE+AB，即
∴AD=BE+AB．
分析：（1）如图1，延长AC交BE于Q，构建等腰△ABQ，则AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，然后由平行线分线段成比例推知AD=EQ，即可得出答案．
（2）如图2，延长AC交BE于Q，证法同（1），结论是AD=BE+AB．
点评：本题考查了平行线等分线段定理，平行线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．