Question

某小区有A、B、C、D四栋居民楼，经测量发现A、C、D三栋居民楼两两距离相等，且∠ACB=90°，物业打算在A、B两楼之间的小路AB上修建一个休闲运动区域E，且D楼居民恰好能沿着小路DE直达该区域，小路DE和小路AC恰好互相垂直，垂足为F．
（1）说明：AE=CE=BE；
（2）若AB=35m，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时，PB+PC的值．

Answer 1

（1）证明：由题意得：AC=CD=DA，
∵∠ACB=90°，
∴△ACD是等边三角形，


∵DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴BE=CE；
∴AE=CE=BE；           

（2）∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴PB+PC最小，也就是PB+PA最小，也就是P、B、A在同一直线上是最小，
即当P在E处时最小，
当点P在E处时，PB+PC=AB=35米．