Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BD，E为AD的中点，BE和CD的延长线相交于点F，连接AF．
（1）求证：AB=DF；
（2）判断四边形ABDF是什么四边形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
又∵在梯形ABCD中，AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠DFE=∠ABE．
在△DEF和△AEB中有，，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴AB=DF；

（2）解：四边形ABDF是菱形，理由如下：
∵AB∥CD，
∴AB∥DF，
又由（1）得，AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵AB=BD，
∴平行四边形ABDF是菱形．
分析：（1）由E为AD的中点，得AE=DE，又由AB∥CD，得∠DFE=∠ABE，易证△DEF≌△AEB（AAS），即可得出结论；
（2）由AB∥DF且AB=DF，可得四边形ABDF是平行四边形，又AB=BD，所以可得平行四边形ABDF是菱形．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定性质：一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解答本题的关键．