Question

已知x²=x+1，y²=y+1，且x≠y．
（1）求证：x+y=1；（2）求x⁵+y⁵的值．

Answer 1

（1）证明：∵x²=x+1，y²=y+1，
∴x²-y²=x-y
∴x+y=1（x≠y）
（2）解：∵x²=x+1，y²=y+1，∴x³=x²+x，y³=y²+y，x⁴=x³+x²，y⁴=y³+y²，x⁵=x⁴+x³，y⁵=y⁴+y³，
∴x⁵+y⁵
=x⁴+x³+y⁴+y³
=x³+x²+x²+x+y³+y²+y²+y，
=x²+x+x²+x²+x+y²+y+y²+y²+y，
=3（x²+y²）+2（x+y），
=3（x+1+y+1）+2（x+y），
=3×3+2，
=11．
分析：（1）将x²=x+1，y²=y+1，相减可直接得出x+y=1；
（2）由x²=x+1，y²=y+1，得出x³=x²+x，y³=y²+y，同理得出x⁵=x⁴+x³，y⁵=y⁴+y³，再利用x²=x+1，y²=y+1，两式之和求出即可．
点评：此题主要考查了因式分解的应用，将两已知条件进行加减运算得出变形后的关系是解决问题的关键．