Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求b的值；
（2）点E是y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当线段PQ=AB时，求点E的坐标；
（3）若点M在射线CA上运动，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，以M为圆心，MN为半径作⊙M，当⊙M与x轴相切时，求⊙M的半径．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2；

（2）∵b=-2，点C（0，-3），
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），
∴AB=4，
又∵PQ=AB，
∴PQ=3，
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴，
∴点P的横坐标为1-=-，
将点P的横坐标代入y=x²-2x-3中，得y=（-）²-2×（-）-3=-，
∴点P坐标为（-，-），
∴点F坐标为（0，-），
∴FC=--（-3）=，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE=2FC=2×=，
∴点E在OC上，且OE=3-=，
∴点E的坐标为（0，-）；


（3）设直线CA的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线CA的解析式为y=-3x-3，
设圆心M的坐标（m，-3m-3），
则MN=|m|，
∵⊙M与x轴相切，
∴|-3m-3|=|m|，
∴3m+3=m或3m+3=-m，
∴m=-或m=-，
∴⊙M的半径为或．
分析：（1）根据抛物线的对称轴公式列式计算即可得解；
（2）写出抛物线解析式，令y=0求出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出PQ的长，然后根据抛物线的对称性求出点P的横坐标，再代入抛物线计算求出点P的纵坐标，即可得到点F的坐标，求出CF，再根据线段垂直平分线的定义求出点E的坐标即可；
（3）设直线CA的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出CA的解析式y=-3x-3，然后设出圆心M的坐标（m，-3m-3），再根据⊙M与x轴相切，可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，然后列方程求解m的值，即可得到⊙M的半径．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线的对称轴公式，二次函数图象的对称性，线段垂直平分线上的定义，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，作出图形更形象直观．