Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，EF＝9 cm．

如图(2)，△DEF从图(1)的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)(0＜t＜4.5)．解答下列问题：

(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y(cm²)，求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

(3)是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．(图(3)供同学们做题使用)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上， 　　∴AP＝AQ． 　　∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC＝180°， 　　∴∠EQC＝45° 　　∴∠DEF＝∠EQC 　　∴CE＝CQ 　　由题意知：CE＝t，BP＝2t， 　　∴CQ＝t 　　∴AQ＝8－t 　　在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝10 cm 　　则AP＝10－2t 　　∴10－2t＝8－t 　　解得：t＝2 　　答：当t＝2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上　　4分 　　(2)过P作，交BE于M， 　　∴ 　　在Rt△ABC和Rt△BPM中，， 　　∴．∴PM＝ 　　∵BC＝6 cm，CE＝t，∴BE＝6－t 　　∴y＝S△ABC－S△BPE＝－＝－ 　　＝＝ 　　∵，∴抛物线开口向上 　　∴当t＝3时，y最小＝ 　　答：当t＝3 s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2　　8分 　　(3)假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上 　　过P作，交AC于N， 　　∴ 　　∵，∴△PAN∽△BAC 　　∴ 　　∴ 　　∴， 　　∵NQ＝AQ－AN， 　　∴NQ＝8－t－()＝． 　　∵∠ACB＝90°，B、C(E)、F在同一条直线上， 　　∴∠QCF＝90°，∠QCF＝∠PNQ 　　∵∠FQC＝∠PQN， 　　∴△QCF∽△QNP 　　∴．∴