Question

如图，四边形ABCD是梯形，sin∠OAD=tan∠OBC=，PC是抛物线的对称轴，且P（3，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）求直线AD的函数表达式；
（4）PD与AD垂直吗？

Answer 1

解：（1）根据图象可得出抛物线经过点O（0，0）和顶点坐标为P（3，-3），
故可得出解析式为：y=a（x-3） ²-3，
将（0，0）代入得出：a=，
故抛物线解析式为：y=（x-3） ²-3=x²-2x；

（2）∵PC是抛物线的对称轴，且P（3，-3），
∴BM=3，
∵tan∠OBC==，
∴CM=2，
∴点D的纵坐标为2．
，
解得x₁=3+（不合题意舍去），x₂=3-，
∴．

（3）过点D作DN⊥x轴于点N，
∵DN=2，sin∠OAD==，
∴AD=3，
∴．
∴A点坐标为：（3--，0），
把A，D的坐标代入y=kx+b，得：
，
解得：，
即y=x+2+2-；

（4）∵CD=NO+OM=-3+3=，CP=CM+PM=3+2=5，
∵tan∠DPC==，
tan∠DAN==，
∴，
∴∠CPD≠∠DAN，
∵∠CPD=NDP，
∴∠PDN≠∠DAN，
∵∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠ADN+∠NDP≠90°，
∴PD与AD不垂直．
分析：（1）根据图象上点的坐标利用顶点式求出即可；
（2）根据抛物线的对称性得出BM=3，再利用tan∠OBC==，即可得出CM的长，再利用D点在抛物线上，进而得出D点坐标即可；
（3）根据AN，NO的长度得出A点坐标，再利用A，D两点坐标得出直线解析式即可；
（4）利用tan∠DPC==，tan∠DAN==，得出∠CPD≠∠DAN，进而求出∠ADN+∠NDP≠90°得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及锐角三角函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，根据锐角三角函数关系得出D点坐标是解题关键．