Question

如图，⊙O的半径为5cm，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求线段BC的长度。

Answer 1

解：（1）证明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥CP，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5cm，AB是⊙O的直径，∴AB=10cm，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵∠COB=2∠A，
∴∠COB=2∠P
又∵∠OCP=90°，
∴∠COB+∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴∠A=30°，
又∵∠ACB=90°，∴CB=AB=5cm。