Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²+4mx-5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6$\sqrt{3}$，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先提取公式因式将原式变形为y=m（x²+4x-5），然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=-2，故此可知当x=-2时，y=6$\sqrt{3}$，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．

解答 解：（1）∵y=mx²+4mx-5m，
∴y=m（x²+4x-5）=m（x+5）（x-1）．
令y=0得：m（x+5）（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x=-5或x=1．
∴A（-5，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-2．
∵抛物线的顶点坐标为为6$\sqrt{3}$，
∴-9m=6$\sqrt{3}$．
∴m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）可知：A（-5，0）、B（1，0）．
（3）如图所示：
∵OP的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴∠AOP=30°．
∴∠POF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴点O、D、P、F共圆．
∴∠PDF=∠POF．
∴∠PDF=60°．

点评 本题主要考查的是二次函数的性质、解一元二次方程、函数图象与坐标轴的交点，四点共圆、圆周角定理的应用，证得点O、D、P、F共圆是解题的关键．