Question

6．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．

解答 解：连接OD，如右图所示，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，
∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BO•tan30°=$6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
∵∠COE=90°，OC=3，
∴OE=OC•tan60°=$3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
∴AE=OE-OA=$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．