Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B，∠C的度数是多少，都有∠DAE=（∠B-∠C）成立，你同意吗？你能说出成立或不成立的理由吗？

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×80°=40°；

（2）∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（3）成立．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（180°-∠B-∠C）-90°+∠B=（∠B-∠C）．
分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数即可；
（2）根据AD⊥BC及三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，再由（1）中求出的∠BAE的度数即可求出∠DAE的度数；
（3）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用∠B、∠C表示出∠BAE的度数，再根据直角三角形的性质用∠B表示出∠BAD的度数，再把两角相减即可得出结论．
点评：本题涉及到三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，涉及面较广，难度适中．