Question

如图，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；

（2）以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的解析式；

②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

 

Answer 1

解：（1）对称轴是直线：，

点A的坐标是（3，0）．

（2）如图，连接AC、AD，过D作于点M，

解法一：利用

∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、

C（0，），

∴AO＝3，MD=1．

由得

∴

又∵

∴由 得

∴函数解析式为：

　 解法二：利用以AD为直径的圆经过点C

∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，），

∴，，

∵

∴

又∵

由①、②得　　

∴函数解析式为：

（3）如图所示，

当BAFE为平行四边形时

　　　　　 则∥，并且＝．

　　　　　 ∵=4，∴=4　　　　　　　　　　　　

由于对称为，

∴点F的横坐标为5．

将代入得，

∴F（5，12）．

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）．

当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，

此时点F的坐标为（1，）．

综上所述，点F的坐标为（5，12）， （，12）或（1，）．