Question

如果α、β是方程x²+2（k+3）x+k²+3=0的两实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是______．

Answer 1

由根与系数的关系得：α+β=-2（k+3），α•β=k²+3，
∴原式=α²-2α+1+β²-2β+1，
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2，
=4（k+3）²-2（k²+3）+4（k+3）+2，
=2（k+7）²-54，
∵b²-4ac=4（k+3）²-4×1×（k²+3）=24k-24≥0，
∴k≥-1，
∴当k=-1时值最小，代入求出最小值是18．
故答案为：18．