Question

如图，点P₁、P₂、…P_n是反比例函数y=在第一象限图象上，点A₁、A₂…A_n在x轴上，若△P₁OA₁、△P₂A₁A₂…△P_nA_N-1A_N均为等腰直角三角形，则：
（1）P₁点的坐标为______；
（2）求点A₂与点P₂的坐标；
（3）直接写出点A_n与点P_n的坐标．

Answer 1

解：（1）可设点P₁（x，y），
根据等腰直角三角形的性质可得：x=y，
又∵y=，
则x²=16，
∴x=±4（负值舍去），
∴P₁点的坐标为（4，4）；

（2）再根据等腰三角形的三线合一，得A₁的坐标是（8，0），
设点P₂的坐标是（8+y，y），
又∵y=，
则y（8+y）=16，
即y²+8y-16=0
解得y₁=-4+4，y₂=-4-4，
∵y＞0，
∴y=-4+4，
∴P₂的坐标为（4+4，4-4），
再根据等腰三角形的三线合一，得A₂的坐标是（8，0）；

（2）可以再进一步求得点A₃的坐标为（8，0），推而广之A_n的坐标是（8，0），
可以再进一步求得点P₃的坐标为（4+4，4-4），推而广之P_n（）．
分析：（1）首先根据等腰直角三角形的性质，知点P₁的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P₁的坐标是（4，4），则根据等腰三角形的三线合一求得点A₁的坐标；
（2）同样根据等腰直角三角形的性质、点A₁的坐标和双曲线的解析式求得A₂点的坐标和点P₂的坐标；
（3）根据A₁、A₂点的坐标特征和P₁、P₂点的坐标特征即可推而广之．
点评：本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．