Question

已知：如图，抛物线y=-的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及点A、C，点D是劣弧上一动点（D点与A、O不重合）．
（1）求抛物线的顶点E的坐标；
（2）求⊙M的面积；
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究，当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线y=-x²-
=-（x²+2x+1）+
=-（x+1）²+
∴E的坐标为（-1，）；

（2）连AC；
∵⊙M过A，O，C，∠AOC=90°，
∴AC为⊙O的直径．
而|OA|=3，OC=
∴r=．
∴S⊙M=πr²=3π；

（3）当点D运动到的中点时，直线GA与⊙M相切．
理由：在Rt△ACO中，|OA|=3，OC=，
∵tan∠ACO=．
∴∠ACO=60°，∠CAO=30°．
∵点D是的中点，
∴．
∴∠ACG=∠DCO=30°．
∴OF=OC•tan30°=1，∠CFO=60°．
在△GAF中，AF=2，FG=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∴△AGF为等边三角形．
∴∠GAF=60°．
∴∠CAG=∠GAF+∠CAO=90°．
又AC为直径，
∴当D为的中点时，GA为⊙M的切线．
分析：（1）已知了抛物线的解析式，用配方法和公式法求都可以．
（2）由于∠AOC是直角，那么连接AC，则AC必过圆心M，也就是说AC就是圆M的直径，因此求出AC就可以得出圆M的半径长，根据抛物线的解析式可求出A，C两点的坐标，也就知道了OA，OC的长，可在直角三角形AOC中，用勾股定理求出AC，然后可根据圆的面积的计算公式求出圆M的面积．
（3）应是D到OA中点时，GA与圆M相切，要证垂直就必须证AC⊥AG，此时D是弧OA的中点，根据OC，OA的长，不难得出∠ACO=60°，那么∠FCO=∠ACD=30°，有OC=，那么可求得OF=1，AF=OA-OF=2，首先三角形AFG是个等腰三角形，而∠CFO=90-30=60°，因此∠AFG=60°，三角形AFG就是个等边三角形，∠FAG=60°，因此∠CAG=60+30=90°，即可得出GA与圆M相切．
点评：本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置．