Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，Ð COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求点B的坐标；

(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[解](1)如图，作BH^ x轴于点H，则四边形OHBC为矩形， 　　∴OH＝CB＝3，∴AH＝OA－OH＝6－3＝3， 　　在Rt△ABH中，BH＝＝＝6， ∴点B的坐标为(3，6)． 　　(2)如上图，作EG^ x轴于点G，则EG∥BH，　　∴△OEG～△OBH，∴＝＝，又∵OE＝2EB， 　　∴＝，∴＝＝，∴OG＝2，EG＝4，∴点E的坐标为(2，4)． 　　又∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y＝kx＋b，则，解得k＝－，b＝5．∴直线DE的解析式为：y＝－x＋5． 　　(3)答：存在． 　　①如图，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时，四边形ODMN为菱形．作MP^ y轴于点P， 　　则MP∥x轴，∴△MPD～△FOD，∴＝＝． 　　又∵当y＝0时，－x＋5＝0，解得x＝10．∴F点的坐标为(10，0)，∴OF＝10． 　　在Rt△ODF中，FD＝＝＝5，∴＝＝， 　　∴MP＝2，PD＝．∴点M的坐标为(－2，5＋)． 　　∴点N的坐标为(－2，)． 　　②如图，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP^ x轴． 　　∵点M在直线y＝－x＋5上，∴设M点坐标为(a，－a＋5)，在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2，∴a2＋(－a＋5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)， 　　∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)． 　　③如图，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形．连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，∴yM＝yN＝OP＝，∴－xM＋5＝，∴xM＝5， 　　∴xN＝－xM＝－5，∴点N的坐标为(－5，)． 　　综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(－2，)， 　　N2(4，8)，N3(－5，)．