Question

如图1，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：

（1）在△ACD绕点C顺时针旋转60°，△A₁CD₁是旋转后的新位置（图2），求此AA₁的距离；
（2）将△ACD沿对角线AC向下翻折（点A、点C位置不动，△ACD和△ABC落在同一平面内），△ACD₂是翻折后的新位置（图3），求此时BD₂的距离；

（3）将△ACD沿CB向左平移，设平移的距离为x（0≤x≤4）， △A₂C₁D₃是平移后的新位置（图3），若△ABC与△A₂C₁D₃重叠部分的面积为Y，求Y关于X的函数关系式。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中， 由勾股定理得，AC==8， 在△ACA1中， ∵AC=A1C1，∠ACA1=60°， ∴△ACA1为等边三角形， ∴AA1=AC=8； （2）如图2所示，过B，D2分别作BE⊥AC于E，D2F⊥AC于F，则BE∥D2F， 在Rt△ABC中， ∵AB=4，BC=4，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60°， 在Rt△ABE中，AB=4，∠BAE=60°，∠ABE=30°， ∴AE=AB=2，BE=2， 同理，CF=2，D2F=2， ∴EF=AC-AE-CF=8-2-2=4， ∵BED2F， ∴四边形BEFD2是平行四边形， ∴BD2=EF=4； （3）如图3所示，AA2=x，AG=x，AD3=4-x， ∵平移的概念及矩形的性质得AG∥C1H，GC1∥AH， ∴四边形AGC1H是平行四边形， ∴（0≤x≤4）。