Question

如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB²＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．

(1)求证：△ANM≌△ENM；

(2)求证：FB是⊙O的切线；

(3)证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵BC是⊙O的直径 　　∴∠BAC＝90o 　　又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC， 　　∴AM＝ME，∠AMN＝EMN 　　又∵MN＝MN， 　　∴△ANM≌△ENM 　　(2)∵AB2＝AF·AC 　　 　　又∵∠BAC＝∠FAB＝90o 　　∴△ABF∽△ACB 　　∴∠ABF＝∠C 　　又∵∠FBC＝∠ABC＋∠FBA＝90o 　　∴FB是⊙O的切线 　　(3)由(1)得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN， 　　又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN， 　　∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM， 　　∴AM＝ME＝EN＝AN 　　∴四边形AMEN是菱形 　　∵cos∠ABD＝，∠ADB＝90o 　　 　　设BD＝3x，则AB＝5x，，由勾股定理 　　而AD＝12，∴x＝3 　　∴BD＝9，AB＝15 　　∵MB平分∠AME，∴BE＝AB＝15 　　∴DE＝BE－BD＝6 　　∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME，又∵∠NBD＝∠MBE 　　∴△BND∽△BME，则 　　设ME＝x，则ND＝12－x，，解得x＝ 　　∴S＝ME·DE＝×6＝45