Question

如图所示，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、 F，AD、BE相交于点G，连结BD。
（1）求BD的长；
（2）求∠ABE+2∠D的度数；
（3）求的值。

Answer 1

解：（1）如图，连结OC， ∵AB是小圆的切线，C是切点， ∴OC⊥AB， ∴C是AB的中点， ∵AD是大圆的直径， ∴O是AD的中点， ∴OC是△ABD的中位线， ∴BD=2OC=10； （2）如图，连结AE，由（1）知C是AB 的中点，同理F是BE的中点，由切线长定理得BC=BF， ∴BA=BE， ∴∠BAE-∠E， ∵∠E=∠D， ∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°； （3）如图，连结BO， 在Rt△OCB中， ∵OB=13，OC=5， ∴BC=12 由（2）知∠0BG=∠OBC=∠OAC， ∵∠BGO=∠AGB， ∴△BGO∽△AGB， ∵==。