Question

如图，正方形ABCD中，点E为AB上一点，点F为CB延长线上一点，且BE=BF，CE的延长线交AF于N，CM⊥NB于M，求证：
（1）CN⊥AF；
（2）∠MNC=45°；
（3）AN=BM．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ABC=90°，AB=BC，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠F=∠CEB，
∵∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠F+∠BCE=90°，
∴∠CNF=90°，
∴CN⊥AF；

（2）过点B作BG⊥CN于点G，BH⊥AF于点H，
则S_△CBE=CE•BG，S_△ABF=AF•BH，
∵△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，S_△CBE=S_△ABF，
∴BG=BH，
∴点B在∠CNF的平分线上，
即NB平分∠CNF，
∵∠CNF=90°，
∴∠MNC=45°；

（3）在CM上截取CK=BN，连接BK，
∵∠CBA=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵CM⊥MN，
∴∠CBM+∠BCK=90°，
∴∠ABN=∠BCK，
在△ABN和△BCK中，
，
∴△ABN≌△BCK（SAS），
∴AN=BK，CK=BN，
∵∠MNC=45°，CM⊥MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CM=MN，
∴BM=KM，
在Rt△BKM中，BK²=BM²+KM²=2BM²，
∴BK=BM，
∴AN=BM．
分析：（1）由四边形ABCD是正方形，易证得△ABF≌△CBE（SAS），即可得∠F=∠CEB，又由∠CEB+∠BCE=90°，即可证得结论；
（2）首先过点B作BG⊥CN于点G，BH⊥AF于点H，S_△CBE=CE•BG，S_△ABF=AF•BH，△ABF≌△CBE，可得BG=BH，即可得点B在∠CNF的平分线上，则可求得答案；
（3）首先在CM上截取CK=BN，连接BK，易证得△ABN≌△BCK，则可得AN=BK，CK=BN，又由△CMN是等腰直角三角形，即可证得AN=BM．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．