Question

设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周长．

Answer 1

【答案】分析：通过作辅助线，①证明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF，再通过面积公式得出AP=AB；
②三角形的周长=三边之和，由①中三角形的全等，通过等量代换，得出BE+BF′=EF′．
解答：证明：（1）延长CB到F′，使BF′=DF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′=AF，∠1=∠2，
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF，
又∵EA=EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF，S_△AEF'=S_△ABF，
而EF′•AB=EF•AP，
∴AB=AP．

解：（2）C_△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=10．
点评：本题是一道综合题，考查三角形的全等，正方形的性质，以及等量代换的方法和转化的思想．