Question

如图，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，求MD的长．

Answer 1

解：如右图所示，在DC上取一点E，使DE=DB，
∵DB=DE，AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AE=AB=10，
∴∠AEB=∠B，
又∵∠AEB=∠C+∠EAC，∠B=2∠C，
∴∠EAC=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴CE=AE=10，
设DB=DE=a，那么BC=BE+CE=2a+10，
∴BM=CM=a+5，
∴DM=BM-BD=5．
分析：先在DC上取一点E，使DE=DB，由于AD⊥BC，可确定AD是BE的垂直平分线，利用其性质有AE=AB=10，再利用等边对等角可知∠AEB=∠B，结合三角形外角性质、∠B=2∠C，易证△AEC是等腰三角形，于是CE=AE=10，再设DB=DE=a，先求BC，再求BM，最后易求DM．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、三角形外角的性质．解题的关键是作辅助线，在DC取E，使DE=DB，从而构造垂直平分线，得出AB=AE．