Question

如图：二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C。

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）根据题意，将A（-，0），B（2，0）代入y=-x2+ax+b中， 得，解这个方程，得a=，b=1， ∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1， 当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1）， ∴在△AOC中，AC=， 在△BOC中，BC=， AB=OA+OB=+2=， ∵AC2+BC2=+5==AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）点D的坐标为（，1）； （3）存在。由（1）知，AC⊥BC。 ①若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示， 可求得直线BC的解析式为y=-x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的， 所以设直线AP的解析式为y=-x+b， 把点A（-，0）代入直线AP的解析式，求得b=-， ∴直线AP的解析式为y=-x-， ∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=-x-， 解得x1=， x2=-（舍去）， 当x=时，y=-， ∴点P（，-）， ②若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示， 可求得直线AC的解析式为y=2x+1， 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b， 把点B（2，0）代入直线BP的解析式，求得b=-4， ∴直线BP的解析式为y=2x-4， ∵点P既在拋物线上，又在直线BP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2（舍去）， 当x=-时，y=-9， ∴点P的坐标为（-，-9）， 综上所述，满足题目条件的点P为（，-）或（-，-9）。