Question

抛物线与x轴相交于A(－1，0)，B(4，0)，与y轴相交于C(0，2)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在经过点M(－2，0)的直线，使该直线与(1)中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设解析式为y＝a(x＋1)(x－4)．则－4a＝2，a＝－0.5，所以抛物线的解析式为y＝－0.5(x＋1)(x－4)＝－0.5x2＋1.5x＋2． 　　(2)设经过M(－2，0)的直线解析式为y＝k(x＋2)，－0.5x2＋1.5x＋2＝k(x＋2)，整理得x2＋(2k－3)x＋4k－4＝0．若交点到y轴的距离相等，则2k－3＝0，k＝1.5，此时方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以不存在过点M的直线，与该抛物线的两个交点到y轴距离相等．

提示：

由乘积式求出抛物线的解析式，再根据一元二次方程两根互为相反数探索是否存在的问题．特别提醒，求出来的解一定要代回原方程，检验是否存在实数根．