Question

18．如图，半圆O直径DE=12，Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=90°，∠ABC=30°．半圆O从左到右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，半圆O在△ABC的左侧．
（1）当△ABC的一边与半圆O相切时，请画出符合题意得图形．
（2）当△ABC的一边与半圆O相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）因为点D，E始终在直线BC，所以当△ABC的一边与半圆O相切时只有三种情况，再分别画出即可；
（2）本题要分当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有图2与图3所示的两种情形分别计算即可．

解答 解：（1）如图所示：

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有图2与图3所示的两种情形．
①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：S_扇形EOM=$\frac{1}{4}$π×6²=9π（cm²）
②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
则PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm
则OH=3cm，BH=3$\sqrt{3}$cm，BP=6$\sqrt{3}$cm，S_△POB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$（cm²）
又因为∠DOP=2∠DBP=60°
所以S_扇形DOP=6π（cm²）
所求重叠部分面积为：S_△POB+S_扇形DOP=9$\sqrt{3}$+6π（cm²），
综上可知当半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分则重叠部分的面积是9π或9$\sqrt{3}$+6π．

点评 此题主要考查了切线的性质、扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念、根据直线与圆的位置关系画出符合题意的图形是解题的关键．