Question

已知⊙O的直径AB=2cm，过点A有两条弦，AC=2cm，AD=cm，则∠ACD=    ．

Answer 1

【答案】分析：分两种情况考虑：当直径位于两弦之间时，如图1所示，过O作OE⊥AC，OF⊥AD，利用垂径定理得到E为AC的中点，F为AD的中点，求出AE与AF的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义与特殊角的三角函数值求出∠CAB的度数，同理求出∠DAB的度数，由∠CAB+∠DAB即可求出∠CAD的度数；当直径位于两条同侧时，如图2所示，同理可得由∠CAB-∠DAB求出∠CAD的度数．
解答：解：分两种情况考虑：当直径位于两弦之间时，如图1所示，
过O作OE⊥AC，OF⊥AD，
∴E为AC的中点，F为AD的中点，
∴AE=AC=1cm，AF=AD=cm，
在Rt△AOE中，OA=AB=cm，AE=1cm，
∴cos∠CAO==，
∴∠CAO=45°，
在Rt△AOF中，OA=cm，AF=cm，
∴cos∠DAB==，
∴∠DAB=30°，
此时∠CAD=∠CAB+∠DAB=75°；
当直径位于两条同侧时，如图2所示，同理可得∠CAD=∠CAB-∠DAB=15°，
综上，∠CAD=75°或15°．
故答案为：75°或15°．
点评：此题考查了垂径定理，以及解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．