Question

如图，矩形ABCD的四个顶点为(2，5)、B(2，2)、C(3，2)、D(3，5)，两条抛物线顶点都在原点，分别过A点和C点。

（1）求两条抛物线的解析式；若抛物线y=ax²与矩形ABCD有公共点，求a的取值范围；

（2）有过原点的直线y=kx和矩形ABCD总有公共点，求k的取值范围；

（3）是否存在过原点的直线y=kx，把矩形ABCD分成面积相等的两部分，若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由y=ax2过A点，得，∴ ，由y=ax2过C点，得，∴ 若抛物线y=ax2与矩形ABCD有公共点，则，（2）过A点的直线方程为，过C点的直线方程为，∴ 过原点的直线y=kx与矩形ABCD有公共点则； （3）若存在过原点的直线y=kx把矩形ABCD分成面积相等的两部分，则直线y=kx必要同时交边AB和CD或同时交边BC和AD。 1°若直线AD有公共点， 与线段AD有公共点，则 ∴ 直线y=kx不能同时交BC和AD，不可能这样把矩形ABCD分成面积相等的两部分。 2°若直线y=kx与线段CD有公共点，则，与线段AB有公共点，则，∴ 当时，直线y=kx必交AB于E，交CD于F，设E(2，2k)，F(3，3k)，得BE=2k-2，CF=3k-2，当BE+CF=3时直线y=kx把矩形ABCD分成面积相等的两部分即(2k-2)+(3k-2)=3，解得  ∴ 存在直线把矩形ABCD分成面积相等的两部分。