Question

如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求AN•BM的值．

Answer 1

解：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，
对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=-1，
∴OA=OB=1，
∴C（-1，1），
将C（-1，1）代入y=得：1=，即k=-1，
则反比例函数解析式为y=-；

（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，
设P（a，-），可得ND=-，ME=|a|=-a，
∵△AND和△BME为等腰直角三角形，
∴AN=×（-）=-，BM=-a，
则AN•BM=-•（-a）=2．
分析：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，进而C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，即可求出所求式子的值．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．