Question

如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上, 以OB为直径的⊙C与AB交于点D， DE与⊙C相切交x轴于点E, 且 OA=cm，∠OAB=30°.

（1）求点B的坐标及直线AB的解析式;

（2）过点B作BG^EC于 F, 交x轴于点G, 求BD的长及点F的坐标;

（3）设点P从点A开始沿ABG的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时

从点A开始沿AG匀速向点G移动, 当四边形CBPQ为平行四边形时, 求点Q的移动

速度.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）由OA^ OB, ∠OAB=30°, OA=，可得AB=2OB.

在Rt△AOB中, 由勾股定理得OB=12，AB=24.

∴ B(0, 12).                            …………………………………………1分

∵ OA=,

∴ A (,0).

可得直线AB的解析式为.                    ……………………2分

（2）法一：连接CD, 过F作FM⊥x轴于点M,则CB=CD.

∵ ∠OBA=90°-∠A=60°,

∴ △CBD是等边三角形.

∴ BD=CB=OB=6,    ……………………3分

∠BCD=60°, ∠OCD=120°.

∵ OB是直径，OA^ OB,

∴ OA切⊙C于O.

∵ DE切⊙C于D,

∴ ∠COE=∠CDE=90°, ∠OEC=∠DEC.

∴ ∠OED=360° -∠COE-∠CDE -∠OCD = 60°.

∴ ∠OEC=∠DEC=30°.

∴ CE=2 CO=12.

∴ 在Rt△COE中, 由勾股定理OE=.       ……………………4分

∵ BG^EC于F,

∴ ∠GFE=90°.

∵ ∠GBO +∠BGO=∠OEC +∠BGO ,

∴ ∠GBO=∠OEC =30°.

故可得FC=BC=3, EF=FC+CE=15, 

FM=EF=, ME=FM=           ………………………………………5分

∴ MO=

∴ F(,).                           ………………………………………6分

法二：连接OD, 过D作DH^ OB于H.

∵ OB是直径，

∴ ∠BDO=90°.

∵∠BOD +∠DOA=∠A +∠DOA,

∴ ∠BOD=∠A =30°.

由（1）OB=12,

∴                 ……………………………………………………3分

在Rt△DOB中, 由勾股定理得 OD=.

 在Rt△DOH中, 由勾股定理得 HD=, OH=9.

 ∴ D(, 9).

可得直线 OD的解析式为

由BG//DO, B(0, 12)，

可得直线BG的解析式为           ……………………………………4分

∵ OB是直径，OA^ OB,

∴ OA切⊙C于O.

∵ DE切⊙C于D,

∴ EO=ED.

∵ ∠DOE=∠BOA -∠BOD =60°,

∴ △ODE是等边三角形.

∴ .           

∴ EA=OA- OE=.

∵ OC=CB=6, OE=EA=,

∴ C(0, 6), CE//BA.

∴ 直线CE的解析式为         ………………………………………5分

由   

∴ F(,).                 ……………………………………………………6分

（3）设点Q移动的速度为vcm/s .

(ⅰ)当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，

PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形, 点Q与点E重合.

∴（cm/s）.              ………………………………………7分

(ⅱ) 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，

PQ∥BC，PQ=BC, 此时四边形CBPQ为平行四边形.

可得BG= 从而PB=,OQ=

∴

∴ （cm/s）. (分母未有理化不扣分)   ………8分

∴ 点Q的速度为cm/s或 cm/s.    

【解析】略