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已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
,求证:n为奇数时,
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
证明:∵
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c

两边同时乘以abc (abc不等于0)得,
bc+ac+ab=
abc
a+b+c

两边同时乘以a+b+c得,
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+3abc=abc,
∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=0,
∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0,
∴a+b,b+c,c+a中,至少有一个是0,
故当n为奇数时an+bn,bn+cn,an+cn至少有一个是0,
同理:
1
an
+
1
bn
+
1
cn
-
1
an+bn+cn

=
(an+bn)(bn+cn)(an+cn)
anbncn(an+bn+cn)

=0.
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
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相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
,求证:n为奇数时,
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=O,a2+b2+c2=1,则a+b+c的值等于(  )
A、1B、-1C、1或-1D、O

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1,则
a+b
c
=
 

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=O,a2+b2+c2=1,则a+b+c的值等于(  )
A.1B.-1C.1或-1D.O

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