Question

如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.

（1）求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)，因为B（0，4）在抛物线上， 所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得， 所以抛物线解析式为； （2） 连接DQ，在Rt△AOB中，，所以AD=AB= 5， AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 - 5 = 2，因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD， PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以 DQ∥AB，所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB， 即 所以AP=AD - DP = AD - DQ=5 -= ，  所以t的值是； （3）对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小． 理由：因为抛物线的对称轴为 所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称．连接AQ交直线 于点M，则MQ+MC的值最小．过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90° DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，∴△DQE ∽△ABO． 即，所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=， 所以Q（，）． 设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M 则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小．