Question

13．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为$\widehat{AD}$的中点，连接DE，EB．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）已知图中阴影部分面积为12π，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）由∠BOD=60°得到E为$\widehat{AD}$的中点，得到$\widehat{AE}$，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；
（2）连接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵∠BOD=60°，
∴∠C=30°，∠AOD=120°，
∵E为 $\widehat{AD}$的中点，
∴∠AOE=∠DOE=60°，
∴∠BOE=120°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE=30°，
∴∠C=∠OBE=∠E，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOE=120°，
∵阴影部分面积为6π，
∴$\frac{60•π•{r}^{2}}{360}$=12π，
∴r=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$是解题的关键．