Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

Answer 1

解：（1）△BPQ是等边三角形。
当t=2时，AP=2×1=2，BQ=2×2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP，
又因为∠B=60°，所以△BPQ是等边三角形。
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E，
由QB=2y，得QE=2t·sin60°=t，
由AP=t，得PB=6-t，
所以S_△BPQ=×BP×QE=（6-t）×t=-t²+3t；
（3）因为QR∥BA，所以∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，
又因为∠C=60°，所以△QRC是等边三角形，
所以QR=RC=QC=6-2t，
因为BE=BQ·cos60°=×2t=t，
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
所以EP∥QR，EP=QR，
所以四边形EPRQ是平行四边形，所以PR=EQ=t，
又因为∠PEQ=90°，所以∠APR=∠PRQ=90°，
因为△APR∽△PRQ，所以∠QPR=∠A=60°，
所以tan60°=，即，所以t=，
所以当t=时， △APR∽△PRQ。