Question

如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点．OA、OB的长分别是方程x²－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动．

(1)设△APB和△OPB的面积分别为S₁、S₂，求S₁∶S₂的值；

(2)求直线BC的解析式；

(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t．

①当0＜t≤时，试求出m的取值范围；

②当t＞时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　解：过P点分别作PM⊥AB于M，PN⊥OB于N 　　∵BC平分∠ABO，∴PM＝PN．……1分 　　∵OA、OB的长分别是方程式x2－14x＋48＝0的两根，且OA＞OB． 　　∴OA＝8，OB＝6． 　　∴AB＝10．……2分 　　∵ 　　∴S1∶S2＝AB∶OB＝10∶6＝5∶3．……3分 　　(2) 　　过C点作CD⊥AB交AB于点D． 　　∵BC平分∠ABO，∴OD＝OC，BD＝OB＝6． 　　设OC＝a，则OD＝a，AC＝8－a， 　　∵AC2＝CD2＋AD2， 　　∴(8－a)2＝a2＋(10－6)2． 　　解得a＝3， 　　∴C点坐标为(3，0)．……5分 　　设BC的解析式为y＝kx＋b，得 　　∴k＝－2，b＝6． 　　∴BC的解析式为y＝－2x＋6．……7分 　　(3) 　　①∵ 　　当t＝时，设P点到达P1点的位置(如图)，作P1Q⊥x轴于Q． 　　则． 　　∵P1C＝P1B－BC＝×1－＝， 　　∴．∴CQ＝1． 　　∴．∴P1O＝PA． 　　∴当t＝时，PA－PO＝0，即m＝0．……9分 　　当0＜t＜时，即P处于B、P1之间时，在BA上截取BE＝BO，连接PE，则△OPB≌△EPB． 　　∴PE＝PO． 　　在△PAE中，PA－PE＜AE，而AE＝4． 　　∴PA－PO＜4，即m＜4． 　　作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR． 　　∵， 　　∴PA＞PO，∴PA－PO＞0，即m＞0． 　　综上所述，当0≤t≤时，0≤m≤4……11分 　　②当t＞时，m＜0．……12分