Question

四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．
（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；
（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）设C关于AB的对称点为E，连接OE交AB于P．
则此时OP+PC为最小，OP+PC的最小值为OP+PC=OE==4；

（2）作C关于AB的对称点G，关于AD的对称点F
则三角形CQR的周长=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF
而GF=2BD
∠CDB=∠CAB=45°
∠CBD=∠CAD=30°
在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，
BD=DH+BH
=
=
GF=
△CQR的周长的最小值为．
分析：（1）要求OP+PC的最小值，OP、PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化OP、PC的值，从而找出其最小值求解；
（2）作C关于AB的对称点G，关于AD的对称点F，可得三角形CQR的周长=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF．根据圆周角定理可得∠CDB=∠CAB=45°，∠CBD=∠CAD=30°，由于GF=2BD，在三角形CBD中，作CH⊥BD于H，可求BD的长，从而求出△CQR的周长的最小值．
点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了两点之间线段最短和圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半以及含30度角的直角三角形三边的关系．