Question

19．在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，P是AD边的中点，点E在AB边上，EP的延长线交射线CD于F点，过点P作PQ⊥EF，与射线BC相交于点Q．
（1）如图1，当点Q在点C时，试求AE的长；
（2）如图2，点G为FQ的中点，连结PG．
①当AE=1时，求PG的长；
②当点E从点A运动到点B时，试直接写出线段PG扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）先判定△APE∽△DCP，再根据相似三角形对应边成比例，求得AE的长即可；
（2）①过点Q作QH⊥AD于H，根据△EPA∽△PQH，PE=$\sqrt{10}$，求得QE=$\frac{5}{3}$PE=$\frac{5}{3}\sqrt{10}$，再根据PG是△EFQ的中位线，得到PG=$\frac{1}{2}$EQ=$\frac{5}{6}\sqrt{10}$；②当点E从点A运动到点B时，线段PG扫过的区域是以$\frac{25}{6}$为底，2为高的三角形，进而求得线段PG扫过的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×2=$\frac{25}{6}$．

解答 解：（1）如图1，∵PQ⊥EF，∠A=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，∠APE+∠AEP=90°，
∴∠CPD=∠AEP，
又∵∠A=∠CDP=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AE}{PD}$=$\frac{AP}{DC}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{3}{4}$，
解得AE=$\frac{9}{4}$；

（2）①∵AE=1，AD=6，P是AD边的中点，
∴Rt△AEP中，PE=$\sqrt{10}$，
如图2，过点Q作QH⊥AD于H，则∠A=∠QHP=90°，
∵∠A=90°，
∴∠APE+∠QPH=90°，∠APE+∠AEP=90°，
∴∠QPH=∠AEP，
∴△EPA∽△PQH，
∴$\frac{PE}{PQ}$=$\frac{AP}{QH}$=$\frac{3}{4}$，
∴Rt△EPQ中，QE=$\frac{5}{3}$PE=$\frac{5}{3}\sqrt{10}$，
∵P是AD边的中点，AE∥DF，
∴P是EF的中点，
又∵点G为FQ的中点，
∴PG是△EFQ的中位线，
∴PG=$\frac{1}{2}$EQ=$\frac{5}{6}\sqrt{10}$；

②线段PG扫过的面积为$\frac{25}{6}$．
如图3，当点E与点A重合时，点D与点F重合，
Rt△PDQ中，PQ=4，
过点G作GH⊥PD于H，则HG=$\frac{1}{2}$PQ=2，
如图4，当点E与点B重合时，Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
根据三角形中位线定理可得：PG=$\frac{1}{2}$BQ，PG∥BQ，
∵∠A=∠BPQ=90°，∠APB=∠PBQ，
∴△ABP∽△PQB，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{PB}{BQ}$，即$\frac{3}{5}$=$\frac{5}{BQ}$，
∴BQ=$\frac{25}{3}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{25}{6}$，
∵当点E从点A运动到点B时，线段PG扫过的区域是以$\frac{25}{6}$为底，2为高的三角形，
∴线段PG扫过的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×2=$\frac{25}{6}$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形和直角三角形，运用相似三角形的性质进行求解．